群论

定义

从数学的角度，一个群是由一种集合以及定义在该群上的一个二元运算所组成，且符合“群公理”。具体完整的定义如下：假设$\mathbb{G}$是一个非空集合，$+$是它的一个二元运算，如果满足以下条件，则$\mathbb{G}$和$+$构成一个群。

• 封闭性（closure）：若a和b是集合$\mathbb{G}$的成员，则存在唯一确定的$c\in \mathbb{G}$，使得$c=a+b$

• 结合律（associativity）：即对$\mathbb{G}$中任意元素$a,b,c$，都有$(a+b)+c=a+(b+c)$

• 单位元（identify element）：存在$\mathbb{G}$中的一个元素$e$ ，对任意所有的$\mathbb{G}$中的元素$a$，总有等式$a+e=e+a=a$。则将$e$称为单位元.

• 逆元（inverse）：对于$\mathbb{G}$任意一个$a$，存在$\mathbb{G}$中的一个元素$b$，使得总有$a+b=b+a=e$（$e$为单位元），则称$a$与 $b$ 互为逆元素，简称逆元。$b$ 记作$a^{-1}$

• 阿贝尔群/交换群：符合交换律即$a+b=b+a$

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